1. KPIM
  2. Kapitel
  3. Analysis
  4. Lösungsverfahren
  5. Die Substitution

Die Substitution

Nützliches

Musterbeispiel: Standardverfahren

\({x}^{4}-5{x}^{2}+4=0\)

\(\Rightarrow\) \(z^{2}-5z+4=0\)

\(\Rightarrow\) \(z_{1|2}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-4}\)

\(\Rightarrow\) \(z_{1}=1\vee\) \(z_{2}=4\)

\(\Rightarrow{x}^{2}=1\vee{x}^{2}=4\)

\(\Rightarrow{x}=1\vee{x}=-1\)

\(\vee{x}=2\vee{x}=-2\)

Man kann diese biquadratische Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung bringen. Dazu ersetzt man \({x}^{2}\) durch \(z\) \(.\)

Die erhaltene Gleichung lösen wir mit Hilfe der pq-Formel, wir erhalten zwei Lösungen für \(z\) \(.\)

Da \(z\) nur stellvertretend für \({x}^{2}\) ist, resubstituieren wir wieder.

Wurzelziehen liefert schließlich vier Lösungen für \({x}.\)

© Christian Wenning