1. KPIM
  2. Kapitel
  3. Analysis
  4. Lösungsverfahren
  5. Die Polynomdivision

Die Polynomdivision

Nützliches

Musterbeispiel:

\(\;\;\;\;\;\;\;({x}^{2}-3{x}-4)\div({x}+1)=\)

\((1)\;\;\;({x}^{2}-3{x}-4)\div({x}+1)={x}\)

\((2)\;\;\;({x}^{2}-3{x}+4)\div({x}+1)={x}\)

\(\;\;\;\;\;-({x}^{2}+{x})\)

\((3)\;\;\;({x}^{2}-3{x}+4)\div({x}+1)={x}\)

\(\;\;\;\;\;-({x}^{2}+{x})\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4{x}+4\)

\((1)\;\;\;({x}^{2}-3{x}-4)\div({x}+1)={x}-4\)

\(\;\;\;\;\;-({x}^{2}+{x})\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4{x}+4\)

\((2)\;\;\;({x}^{2}-3{x}-4)\div({x}+1)={x}-4\)

\(\;\;\;\;\;-({x}^{2}+{x})\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4{x}+4\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;-(-4{x}-4)\)

\((3)\;\;\;({x}^{2}-3{x}-4)\div({x}+1)={x}-4\)

\(\;\;\;\;\;-({x}^{2}+{x})\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4{x}+4\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;-(-4{x}-4)\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\)

Bei einer Polynomdivision werden drei Schritte wiederholt, bis der gesamte Ausgangsterm weggefallen ist.

\((1)\) Als erstes dividiert man das \({x}\) mit höchstem Exponenten durch \({x}{,}\) bei uns also \({x}^{2}\div{x}\) ergibt \({x}.\) Die Lösung schreibt man hinter das Gleichheitszeichen.

\((2)\) Nun multipliziert man die in \((1)\) erhaltene Lösung mit dem Polynom \(({x}+1)\) und schreibt das Ergebnis passend unter den Ausgangsterm in eine Minusklammer. Bei uns also \({x}\cdot({x}-1)=({x}^{2}-{x})\)

\((3)\) Das Ergebnis aus \((2)\) wird nun vom Ausgangsterm subtrahiert (daher auch die Minusklammer). Der erste Summand fällt hierbei immer weg. Bei uns erhält man \(-3{x}-(+{x})=-4{x}\) und übernimmt die \(4.\)

Die Schritte werden nun solange wiederholt, bis der Ausgangsterm vollständig weggefallen ist, ergo..

\((1)\) \({x}\) mit höchstem Exponenten durch \({x}\) teilen, hier \(-4{x}\div{x}=-4{,}\) und das Ergebnis hinters Gleichheitszeichen.

\((2)\) Ergebnis aus \((1)\) mit dem Polynom multiplizieren und in die Minusklammer, hier \(-4\cdot({x}+1)=-4{x}-4\)

\((3)\) Vom Ausgangsterm subtrahieren \(-\) hier fällt jetzt alles weg: \(-4{x}-(-4{x})=0\) und \(-4-(-4)=0.\)

© Christian Wenning