Vorwort: Das Lösen von Gleichungen per Polynomdivision ist so gesehen das schlechteste Lösungsverfahren - es wird nur benutzt, wenn die anderen Verfahren (Ausklammern, PQ-Formel und Substitution) fehlschlagen.
Um das Lösen einer Gleichung per Polynomdivision vollständig erklären zu können muss man leider auch den Begriff Polynom, sowie natürlich auch die schlichte Durchführung der Polynomdivision erklären.
Lass dich von diesem Kapitel also nicht abschrecken - um Gleichungen per PD lösen zu können musst du prinzipiell nur die letzte Zusammenfassung verstehen (samt Durchführung versteht sich), die vorderen Erklärungen dienen lediglich dem mathematischen Hintergrund.
Beginnen wir also mit dem Wort "Polynom".
Polynome
Polynome
\((x-1)\) \((x+3)\)
\((x-\frac14)\) \((x+\sqrt2)\)
Ein (einfaches) Polynom ist ein Ausdruck der Form \((x-a)\), bzw. \((x+a)\). Polynome bestimmen direkt die Nullstellen einer Funktion (~ Lösungen einer Gleichung), so lassen sich diese beim Beispiel unten beihnahe ablesen...
... besteht eine Funktion nämlich nur aus einfachen Polynomen, so kann man die Nullstellen schnell mit Hilfe des Satz vom Nullprodukt ablesen: Wir dürfen jeden Faktor einzeln gleich Null setzen, es ergeben sich direkt die Lösungen.
Allgemein hat das Polynom \((x-a)\) die Lösung \(x=a\) (eigentlich: die Nullstelle \(x=a\)) zur Folge.
Das Problem an Polynomen ist, dass man sie - einmal ausmultipliziert - nicht mehr erkennt! Ebenso lassen sich die Lösungen der zugehörigen Gleichung nicht mehr ohne weiteres angeben.
Eine Gleichung aus Polynomen
\((x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Leftrightarrow{x}=1\vee{x}=2\vee{x}=3\)
Polynome ausmultiplizieren?
\((x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Leftrightarrow(x-1)(x^2-5x+6)=0\)
\(\Leftrightarrow{x}^3-6x^2+11x-6=0\)
\(\Rightarrow\) kein geeignetes Verfahren
Da wir Polynome nun kennen, lesen wir die Lösungen ab.
Nach dem Ausmultiplizieren greift kein bekanntes Lösungsverfahren mehr: Ausklammern geht nicht wegen der \(-6\) hinten, PQ-Formel klappt nicht wegen des \(x^3\) vorne und eine geeignete Substitution läßt sich auch nicht finden!
Was also tun?!
Um die Gleichung lösen zu können, muss(!) man mindestens ein Polynom kennen! Ist dieses bekannt - hier z.B. das Polynom \((x-1)\), so läßt sich die Gleichung nämlich lösen, indem man das Ausmultiplizieren wieder rückgängig macht, und so ein Produkt herstellt.
Mit Hilfe des Polynoms können wir die zweite Gleichung vom Ausmultiplizieren wieder übernehmen.
Jetzt können wir nach dem SvN die Faktoren einzelnd gleich Null setzen und die rechte Gleichung noch mit der PQ-Formel auflösen. Wir erhalten natürlich wieder die ursprünglichen Lösungen.
Woher kennt man aber das Polynom, wenn man nicht wie wir die Gleichung durch Ausmultiplizieren erhalten hat? Nun, man muss tatsächlich eine Lösung der Gleichung raten! Dazu setzt man einfach der Reihe nach Zahlen ein und guckt, ob Null heraus kommt. Findet man nämlich eine Lösung, so kennt man auch das zugehörige Polynom.
Hier ist dann \(x=1\) eine Lösung, das zugehörige Polynom lautet also \((x-1)\).
Als letzte Hürde müssen wir jetzt noch herausfinden wie wir mit Hilfe des Polynoms \((x-1)\) unsere Ursprungsgleichung durch \((x-1)(x^2-5x+6)=0\) ersetzen können, denn der zweite Faktor, also \(x^2-5x+6\), war uns ja nur vom Ausmultiplizieren bekannt!
Wenn wir aber wissen, dass unser Polynom auch ein Faktor des Terms ist, dann können wir ihn ja durch das Polynom dividieren!
Wir erhalten den Term \(x^2-5x+6\), bzw. das Restglied \(r(x)\), indem wir das gefundene Polynom \((x-1)\) von unsererm Term abspalten. Da Polynome Faktoren sind, müssen wir die Gleichung durch das Polynom teilen und erhalten eine Art Restfunktion - bei uns eben \(x^2-5x+6\).
Zusammenfassung Polynome
➤ Ein Polynom der Form \((x-a)\) hat die Nullstelle, bzw. die Lösung \(x=a\). Auch umgekehrt beinhaltet eine Gleichung das Polynom \((x-a)\), falls sie die Lösung \(x=a\) besitzt.
➤ Hat man ein Polynom durch Raten einer Lösung gefunden, so kann man es per Division von seiner Ursprungsgleichung abspalten. Der erhaltene Rest beinhaltet dann nur noch die übrigen Lösungen.
➤ Man dividiert Polynome mittels Polynomdivision.
Die Polynomdivision (Durchführung)
Das schriftliche Dividieren von Polynomen beruht auf drei wesentlichen Schritten, die bis zum Ende wiederholt werden.
Klicke links auf den Schalter, um die Division zu starten.
Schritt 1: "Das \(x\) des Ausgangsterms mit dem höchsten Exponenten durch \(x\) teilen und das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen schreiben". Hier ist \(x^3\div{x}=x^2\).
Schritt 2: "Das Ergebnis aus Schritt 1 mit dem Polynom multiplizieren und in eine Minusklammer passend unter den Ausgangsterm schreiben." Passend bedeutet, dass \(x\) mit gleichem Exponenten untereinander gehören. Bei uns ist \(x^2\cdot(x-1)=x^3-x^2\). Das also in die Minusklammer.
Schritt 3: "Das Ergebnis aus Schritt 2 vom Ausgangsterm subtrahieren (daher auch die Minusklammer). Das \(x\) mit höchstem Exponenten fällt weg. Bei uns: \(x^3-x^3=0\) (fällt weg) und \(-6x^2-(-x^2)=-5x^2\). Da wir nun bereits alles subtrahiert haben, schreiben wir den Rest des Ausgangsterms ab - hier \(+11x-6\).
Nun werden die drei Schritte solange wiederholt, bis alles weggefallen ist.
Also wieder Schritt 1: Das \(x\) mit höchstem Exponenten durch \(x\) teilen, hier \(-5x^2\div{x}=-5x\), und das Ergebnis hinter das Gleich.
Danach (Schritt 2) die \(-5x\) mit dem Polynom multiplizieren und in die Minusklammer, also: \(-5x\cdot(x-1)=-5x^2+5x\).
Das wieder subtrahieren: Die \(-5x^2\) fallen weg und \(11x-5x=6x\) (Schritt 3).
Erneut Schritt 1 liefert \(6x\div{x}=6\), diese also hinters Gleich.
Im Produkt mit dem Polynom erhalten wir \(6(x-1)=6x-6\), was wir in die Minusklammer schreiben.
Schließlich subtrahieren wir ein letztes Mal, denn \(6x-6x=0\) und \(-6-(-6)=0\) - es ist also alles weggefallen und wir sind fertig.
Teilt man unseren Ausgangsterm also durch das Polynom \((x-1)\), so erhält man die Lösung \(x^2-5x+6\).
Okay, damit können wir Polynome abspalten und haben somit alle Techniken, die wir beim Lösen von Gleichungen mit Hilfe einer Polynomdivision benötigen. Schnell zu Rezept:
Polynomdivision (als Lösungsverfahren)
Falls die üblichen Lösungsverfahren (Ausklammern, PQ-Formel und Substitution) fehlschlagen, so muss die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision gelöst werden.
Rezept zum Lösen per Polynomdivision
➤ Schritt 1: Lösung raten
• Als erstes muss eine Lösung durch Ausprobieren geraten werden. Setze dazu verschiedene \(x\) ein (am besten in der Reihenfolge \(1; 2; 3; -1; -2; -3\)) und gucke, ob \(0\) herauskommt.
➤ Schritt 2: Polynom abspalten
• Anschließend wird die Gleichung mittels Polynomdivision durch das zugehörige Polynom der in 1) gefundenen Lösung dividiert. (Beachte den Vorzeichenwechsel: Falls \(x=5\) die geratene Lösung ist, so muss durch \((x-5)\) dividiert werden!)
➤ Schritt 3: restliche Lösungen
• Setze das Ergebnis der Polynomdivision wieder gleich \(0\), um die restlichen Lösungen zu erhalten.
Zuerst wird in Schritt 1 eine Lösung geraten, damit wir ein Polynom kennen. Hier schlägt der Versuch mit \(x=1\) fehl, aber wir haben Glück mit \(x=2\). Das zugehörige Polynom ist also \((x-2)\).
Dieses spalten wir in Schritt 2 von unserem Ausgangsterm ab.
Und zum Schluss bestimmen wir die restlichen Lösungen, indem wir das Ergebnis der Polynomdivision erneut gleich Null setzen und (hier mit der PQ-Formel) auflösen. Hintenraus darf man die geratene Lösung nicht vergessen, bei uns hat die Ausgangsgleichung drei Lösungen!
Wieder gehen wir strikt nach dem Rezept vor. Die geratene Lösung ist \(x=3\), also dividieren wir durch das Polynom \((x-3)\). In diesem Fall erhalten wir in Schritt 3 unter der Wurzel eine negative Zahl, so dass \(x=3\) einzige Lösung der Ausgangsgleichung bleibt.
Bei einer Polynomdivision werden drei Schritte wiederholt, bis der gesamte Ausgangsterm weggefallen ist.
\((1)\) Als erstes dividiert man das \({x}\) mit höchstem Exponenten durch \({x}{,}\) bei uns also \({x}^{2}\div{x}\) ergibt \({x}.\) Die Lösung schreibt man hinter das Gleichheitszeichen.
\((2)\) Nun multipliziert man die in \((1)\) erhaltene Lösung mit dem Polynom \(({x}+1)\) und schreibt das Ergebnis passend unter den Ausgangsterm in eine Minusklammer. Bei uns also \({x}\cdot({x}-1)=({x}^{2}-{x})\)
\((3)\) Das Ergebnis aus \((2)\) wird nun vom Ausgangsterm subtrahiert (daher auch die Minusklammer). Der erste Summand fällt hierbei immer weg. Bei uns erhält man \(-3{x}-(+{x})=-4{x}\) und übernimmt die \(4.\)
Die Schritte werden nun solange wiederholt, bis der Ausgangsterm vollständig weggefallen ist, ergo..
\((1)\) \({x}\) mit höchstem Exponenten durch \({x}\) teilen, hier \(-4{x}\div{x}=-4{,}\) und das Ergebnis hinters Gleichheitszeichen.
\((2)\) Ergebnis aus \((1)\) mit dem Polynom multiplizieren und in die Minusklammer, hier \(-4\cdot({x}+1)=-4{x}-4\)
\((3)\) Vom Ausgangsterm subtrahieren \(-\) hier fällt jetzt alles weg: \(-4{x}-(-4{x})=0\) und \(-4-(-4)=0.\)
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