In diesem Kapitel werden die besonderen Stammfunktionen behandelt. Hinsichtlich des Abiturs solltes du alle hier behandelten Stammfunktionen auswendig kennen.
In diesem Kapitel werden die besonderen Stammfunktionen behandelt. Hinsichtlich des Abiturs solltes du alle hier behandelten Stammfunktionen auswendig kennen.
\(f(x)=\sqrt{x}\)
\(f(x)=\frac1x\)
\(f(x)=\sin(x)\)
\(f(x)=e^x\)
\(f(x)=\ln(x)\)
\(f(x)=\sqrt{x}\qquad\qquad\;(=x^{\frac12})\) \(\Rightarrow{F}(x)=\frac23\sqrt{x^3}\quad\quad(=\frac{1}{\frac32}x^{\frac32})\) | Die Wurzelfunktion läßt sich ja - genau wie schon zum Ableiten - als Potenz schreiben, nämlich \(x^{\frac12}\). Leiten wir nun auf, erhalten wir den neuen Exponent \(\frac32\) und als Vorfaktor \(\frac{1}{\frac32}\), also \(\frac23\). Der Exponent \(\frac32\) bedeutet wieder umgeformt \(\sqrt[2]{x^3}\). |
\(f(x)=\frac1x\) \(\Rightarrow{F}(x)=\ln(x)\) | Die Aufleitung von \(\frac1x\) solltest du einfach auswendig lernen. Alternativ kannst du dir natürlich auch die Ableitung von \(\ln(x)\) merken! ;) |
\(f(x)=\sin(x)\) \(\Rightarrow{F}(x)=-\cos(x)\) \(f(x)=\cos(x)\) \(\Rightarrow{F}(x)=\sin(x)\) | Erinnerst du dich an den Ableitungskreis für \(\sin\) und \(\cos\)? Dieser wird andersrum gelesen nämlich zum Aufleitungskreis: \(\sin(x)\) wird zu \(-\cos(x)\), das wird zu \(-\sin(x)\), weiter zu \(\cos(x)\) und schließlich wieder \(\sin(x)\). |
\(f(x)=e^x\) \(\Rightarrow{F}(x)=e^x\) \(f(x)=e^{-x}\) \(\Rightarrow{F}(x)=-e^{-x}\) | Da die e-Funktion beim Ableiten erhalten bleibt, tut sie das natürlich auch beim Aufleiten. Die Aufleitung von \(e^{-x}\) sollte auch auswendig gewusst werden! |
Kennt man die Ableitungen von \(f(x)=e^{-x}\) nicht auswendig, so kann man die Stammfunktion auch nach folgendem kleinen Satz herleiten:
\(f(x)=a\cdot{e}^{mx+n}\)
\(\Rightarrow{F}(x)=a\cdot\frac1m\cdot{e}^{mx+n}\)
Der Satz geht sofort aus der (umgekehrten) Kettenregel hervor - leitet man zum Beispiel \(f(x)=e^{2x+1}\) ab, so erhält man mit Kettenregel \(f'(x)=2\cdot{e}^{2x+1}\). Mit dem konstanten Faktor 2 vorne (der Inneren Ableitung) ändert sich beim weiteren Ableiten nichts (Faktorregel), weshalb die zweite Ableitung fast ohne Rechnung \(f''(x)=4e^{2x+1}\) ist.
Solange der Exponent der e-Funktion linear ist, muss man beim Ableiten also einfach mit einem konstanten Faktor multiplizieren - aus diesem Grund dürfen wir beim Aufleiten einfach durch diesen Wert teilen (das \(\cdot\frac1{m}\) im Satz).
\(f(x)=10e^{5x-3}\) \(\Rightarrow{F}(x)=10\cdot\frac15e^{5x-3}\) \(\Leftrightarrow{F}(x)=2e^{5x-3}\) | Der Exponent der e-Funktion ist linear, also ist die Innere Ableitung konstant und unser Satz greift. Dass die Stammfunktion stimmt, sehen wir wieder durch Ableiten: \(F'(x)=2\cdot{e}^{5x-3}\cdot5=10e^{5x-3}\) |
Wie gesagt klappt das nicht, wenn der Exponent höheren Grades ist:
\(f(x)=10e^{5x^2-3}\) \(\color{red}{{F}(x)=10\cdot\frac1{10x}e^{5x-3}=\frac1xe^{5x-3}}\) \(\color{red}{\text{Die Stammfunktion ist FALSCH!!}}\) | Hier wurde zwar so ähnlich wie im Satz aufgeleitet (durch Dividieren durch die Innere Ableitung), der Exponent der e-Funktion ist aber nicht linear - die Lösung ist falsch! |
Weiter zur \(\ln\)-Funktion.
\(f(x)=\ln(x)\) \(\Rightarrow{F}(x)=x\cdot\ln(x)-x\) | Die Stammfunktion von \(\ln(x)\) ist am besten auch auswendig parat. Dass die Stammfunktion richtig ist, sieht man, wenn man sie ableitet (mit Produktregel und \(-x\) hinten wird zu \(-1\)): \(F'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac1x-1\) \(\Leftrightarrow{F}'(x)=\ln(x)+1-1=f(x)\). |
\(f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow{F}(x)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow{F}(x)=\ln(x)\)
\(f(x)=e^x\Rightarrow{F}(x)=e^x\)
\(f(x)=\ln(x)\Rightarrow{F}(x)=x\cdot\ln(x)-x\)
\(f(x)=\sin(x)\Rightarrow{F}(x)=-\cos(x)\)
\(f(x)=\cos(x)\Rightarrow{F}(x)=\sin(x)\)
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?