Bruchdivision 2

Kapiteleintrag

Bei einer Division fragt man sich, wie oft der Divisor in den Dividenden passt (etwa ist \(15\div5=3\), denn die \(5\) passt dreimal in die \(15\)). Dann schauen wir mal, wie oft zwei Drittel in acht Ganze passen.

\(8\div\frac23=\;?\)

1) Ein Drittel in einem Ganzen?

\(1\div\frac13=3\)

2) Ein Drittel in 8 Ganzen?

\(8\div\frac13=8\cdot1\div\frac13=8\cdot3=24\)

3) Zwei Drittel in 8 Ganzen?

\(8\div\frac23=24\div2=12\)

Lösung:

\(8\div\frac23=8\cdot3\div2=8\cdot\frac32\)

Zuerst fragen wir uns, wie oft ein Drittel in ein Ganzes passt. Logisch, dreimal, denn ein Ganzes besteht aus drei Dritteln.

Nun fragen wir, wie oft ein Drittel in acht Ganze passt. Da jedes Ganze aus drei Dritteln besteht, liegen bei acht Ganzen insgesamt \(8\cdot3=24\) Drittel vor - ein Drittel passt also 24 mal in acht Ganze.

Wenn ein Drittel 24 mal in acht Ganze passt, dann passen zwei Drittel (also doppelt so viele Drittel) nur halb so oft in acht Ganze. Wir müssen die Lösung aus 2) also noch durch \(2\) teilen.

Teilt man 8 also per Hand durch \(\frac23\), so rechnet man erst \(8\cdot3\) (so oft passt ein Drittel in die 8) und das Ergebnis durch 2, also \(8\cdot3\div2\) (so oft passen zwei Drittel in die 8).

Betrachten wir die letzte Zeile, so fällt auf, dass man anstatt durch einen Bruch zu dividieren auch mit dem umgedrehten Bruch (~mit dem Kehrwert) multiplizieren kann: Statt \(8\div\frac23\) rechnen wir \(8\cdot\frac32\). Das halten wir als Satz fest!

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert!

Bevor wir uns auf Beispiele stürzen, noch der Hinweis, dass man beim Multiplizieren von Brüchen wie gewohnt vor der eigentlichen Berechnung kürzen kann und sollte. Na dann los..

Beispiele

\(\require{cancel}\frac15\div\frac34=\frac15\cdot\frac43=\frac{1\cdot4}{5\cdot3}=\frac4{15}\)

\(\require{cancel}\frac59\div\frac58=\frac59\cdot\frac85=\frac{\cancel5^1\cdot8}{9\cdot\cancel5_1}=\frac89\)

\(\require{cancel}\frac{11}{12}\div\frac{44}{27}=\frac{11}{12}\cdot\frac{27}{44}=\frac{\cancel{11}^1\cdot\cancel{27}^9}{\cancel{12}_4\cdot\cancel{44}_4}=\frac9{16}\)

\(\frac{\;\;\frac13\;\;}{\;\;\frac16\;\;}=\frac13\div\frac16=\frac13\cdot\frac61=\frac{1\cdot\cancel6^2}{\cancel3_1\cdot1}=\frac21=2\)

Da die Beispiele an sich klar sind, hier nur der Hinweis, dass man erst beim Multiplizieren wie gewohnt kürzen darf! Drehe also zuvor immer alle zu teilenden Brüche unbedingt um (~bilde ihre Kehrwerte).

Wie in der letzten Zeile zu sehen, läßt sich die Division zweier Brüche auch als Doppelbruch darstellen. Um solch einen Doppelbruch zu berechnen, umschreibe ihn also als normale Division und gehe anschließend wie gewohnt vor.

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