Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer ganzrationalen Funktion durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer ganzrationalen Funktion durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\)
1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Schnittpunkte mit den Achsen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte
6. Grenzwertverhalten
7. Wertebereich
8. Graph
Na dann los!
\(D(f)=\mathbb{R}\) | Bei ganzrationalen Funktionen benötigen wir keine Einschränkung, wir dürfen alles einsetzen (ganzrationale Funktionen haben haben kein \(x\) im Nenner, unter der Wurzel oder im Logarithmus) Der Definitionsbereich ist somit \(\mathbb{R}\). |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) \(\Rightarrow{f}\text{ besitzt keine Symmetrie}\) | Bei ganzrationalen Funktionen läßt sich die Symmetrie an Hand der Exponenten (von \(x\)) ablesen. Hier hat \(f\) gerade und ungerade Exponenten, die Funktion besitzt also keine Symmetrie. |
\(f(x)=0\) \(\Rightarrow{x}^3+5x^2-8x-12=0\) Nullstelle raten \(x=1\rightarrow{1}^3+5\cdot1^2-8\cdot1-12=-14\text{ falsch}\) \(x=2\rightarrow{2}^3+5\cdot2^2-8\cdot2-12=0\text{ wahr}\) Polynomdivision \((x^3+5x^2-8x-12)\div(x-2)=x^2+7x+6\) restliche Nullstellen ermitteln \(x^2+7x+6=0\) \(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac72\pm\sqrt{(\frac72)^2-6}\) \(\Rightarrow{x}_{1}=-6\vee{x}_2=-1\) \(\Rightarrow{N}_1(2\mid0)\), \(N_2(-6\mid0)\), \(N_3(-1\mid0)\) | Für die Schnittpunkte mit der x-Achse (~für die Nullstellen) setzen wir die Funktion gleich Null und lösen auf. Hier funktioniert kein schönes Verfahren (Ausklammern geht nicht, wegen der \(-12\), PQ-Formal klappt nicht, wegen des \(x^3\) und eine geeignete Substitution läßt sich auch nicht finden), also müssen wir eine Nullstelle raten und per Polynomdivision lösen. Die Lösung \(x=2\) stimmt, wir dividieren also durch das Polynom \((x-2)\) und setzen das Ergebnis wieder gleich Null. Diese Gleichung (jetzt 2. Grades) können wir mit PQ-Formel lösen und erhalten zwei weitere Lösungen. Bei der Angabe der Nullstellen darf die geratene Lösung nicht vergessen werden! |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) \(\Rightarrow{f}(0)=-12\) \(\Rightarrow{N}_y(0\mid-12)\) | Der Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt sich durch Einsetzen der \(0\) in \(f\) (~durch \(f(0)\)). Wir erhalten \(f(0)=-12\), ergo ist \(N_y(0\mid-12)\) der y-Achsenabschnitt. |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) Ableitungen \(\Rightarrow{f}'(x)=3x^2+10x-8\) \(\Rightarrow{f}''(x)=6x+10\) Notwendige Bedingung \(3x^2+10x-8=0\) \(\mid\div3\) \(\Leftrightarrow{x}^2+\frac{10}{3}x-\frac83=0\) \(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac53\pm\sqrt{(\frac53)^2+\frac83}\) \(\Rightarrow{x}_1=-4\vee{x}_2=\frac23\) Hinreichende Bedingung \(f''(-4)=6\cdot(-4)+10=-14\lt0\Rightarrow{HP}\) \(f''(\frac23)=6\cdot\frac23+10=14\gt0\Rightarrow{TP}\) y-Werte \(f(-4)=(-4)^3+5(-4)^2-8\cdot(-4)-12=36\) \(f(\frac23)=(\frac23)^3+5(\frac23)^2-8\cdot\frac23-12\approx-14{,}81\) Angabe der Extrempunkte \(TP(\frac23\mid-14{,}81)\) \(HP(-4\mid36)\) | Für die Extremstellen setzen wir die erste Ableitung gleich Null und lösen nach \(x\) auf (notwendige Bedingung \(f'(x)=0\)). Wir erhalten mit Hilfe der PQ-Formel die Lösungen \(x=-4\vee{x}=\frac23\), unsere Extremstellenkandidaten. Diese überprüfen wir nun mit der zweiten Ableitung (durch Einsetzen), sie ist bei \(x=-4\) negativ (Hochpunkt) und bei \(x=\frac23\) positiv (Tiefpunkt). Und weil beide Extremstellen bestätigt wurden, berechnen wir noch die zugehörigen y-Werte - durch Einsetzen in \(f\). Insgesamt hat die Funktion also zwei Extrempunkte. |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) Ableitungen \(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) \(\Rightarrow\) \({f}'(x)=3x^2+10x-8\) \(\Rightarrow{f}''(x)=6x+10\) \(\Rightarrow{f}'''(x)=6\) Notwendige Bedingung \(f''(x)=0\) \(\Rightarrow6x+10=0\) \(\Leftrightarrow{x}=-\frac53\) Hinreichende Bedingung \(f'''(-\frac53)=6\ne0\Rightarrow{WP}\) y-Wert \(f(-\frac53)=(-\frac53)^3+5(-\frac53)^2-8\cdot(-\frac53)-12\) \(\approx10{,}59\) \(\Rightarrow{WP}(-1{,}66\mid10{,}59)\) Angabe des Wendepunkts \(WP(-\frac53\mid10{,}59)\) | Für die Wendestellen setzen wir die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung \(f''(x)=0\)) und lösen wieder nach \(x\) auf. Hier erhalten wir nur einen Wendestellenkandidaten bei \(x=-\frac53\). Die Überprüfung mit Hilfe der dritten Ableitung liefert \(f'''(-\frac53)=6\), was ungleich Null ist und somit den Wendepunkt beweist. Also ermitteln wir den zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion, in \(f\). Wir erhalten den Wendepunkt. |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) | Bei ganzrationalen Funktionen ermitteln wir das Verhalten für große \(x\) anhand des \(x\) mit höchstem Exponenten (samt Vorfaktor), hier also anhand \(x^3\). Und da \(\infty^3=\infty\) und \((-\infty)^3=-\infty\), ergeben sich die Grenzwerte (positive Zahl hoch drei bleibt positiv; negative Zahl hoch drei bleibt negativ). |
\(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\) \(\Rightarrow{W}(f)=\mathbb{R}\) | Aus den Grenzwerten geht hervor, dass die Funktion aus dem negativen Unendlichen kommt und nach plus Unendlich geht. Da die Funktion nicht unterbrochen wird (~da sie stetig ist - wie alle ganzrationalen Funktionen), kann sie also alle Zahlen annehmen, der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\). |
Nachdem wir nun alle markanten Eigenschaften von \(f\) bestimmt haben, übertragen wir die Ergebnisse in ein Koordinatensystem und zeichnen den Graphen (klicke unten auf das Bild). Hier ist der besseren Übersicht wegen die y-Achse im Verhältnis 1:10 gestaucht - so hat der Hochpunkt im Bild etwa die y-Koordinate \(y=3{,}6\) (statt \(y=36\)).
© Christian Wenning
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