Mit Hilfe des Additions- oder Subtraktionsverfahren lassen sich lineare Gleichungssysteme lösen. Dazu addiert oder subtrahiert man ganze Gleichungen soweit, bis man in einer Gleichung nur noch eine Variable hat - und diese so bestimmen kann.
Mit Hilfe des Additions- oder Subtraktionsverfahren lassen sich lineare Gleichungssysteme lösen. Dazu addiert oder subtrahiert man ganze Gleichungen soweit, bis man in einer Gleichung nur noch eine Variable hat - und diese so bestimmen kann.
\(\begin{vmatrix}{2a+b=5}\\{a-b=1}\end{vmatrix}\;\;\left.\right]+\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+b=5 \\3a\qquad\;\;=6\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2\cdot2+b=5 \\\;\;{a}\qquad\;\;=2\end{vmatrix}\Leftrightarrow\begin{vmatrix}b=1 \\ a=2\end{vmatrix}\) | Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen wie gesagt vollständig addiert. Bei uns heißt das, wir addieren \(2a+a=3a\), \(+b+(-b)=0\) (fällt weg) und \(5+1=6\), letzteres auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen. Eine der beiden Gleichungen schleppen wir mit, damit wir später die weggefallene Variable berechnen können. Nun haben wir das LGS derart umgeformt, dass eine Gleichung nur noch \(a\) enthält - wir können diese Variable bestimmen. Hier ist \(a=2\) und wenn wir das in die mitgeschleppte Gleichung einsetzen, erhalten wir die andere Variable - hier \(b=1\). Das LGS ist gelöst! |
\(\begin{vmatrix}2a+b=8 \\\;\;\; a+b=5\end{vmatrix}\;\;\left.\right]-\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+b=8 \\\;\;\;a\qquad\;\;=3\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2\cdot3+b=8 \\\;\;{a}\qquad\;\;=3\end{vmatrix}\Leftrightarrow\begin{vmatrix}b=2 \\ a=3\end{vmatrix}\) | Das Subtraktionsverfahren funktioniert natürlich genauso, nur dass die Gleichungen jetzt subtrahiert werden. Hier fällt \(b\) weg, wenn wir die Gleichungen subtrahieren, ergo lösen wir nach diesem Verfahren: Es ist \(2a-a=a\), \(+b-(+b)=0\) (fällt weg) und \(8-5=3\). Wieder ist eine Variable weggefallen, wir können \(a\) in der zweiten Zeile berechnen (bzw. hier: ablesen). |
Okay, wir haben gerade festgestellt, dass man Variablen per Additions- oder Subtraktionsverfahren rausschmeißen kann. Damit die Variablen aber überhaupt wegfallen, müssen sie in gleicher Anzahl vorliegen - sprich: die Vorfaktoren müssen gleich sein!
\(\begin{vmatrix}2a+2b=\;\;6 \\\;\;a\;\;-3b=-1\end{vmatrix}\) | Hat man wie in dieser Aufgabe in den Gleichungen verschiedene Vorfaktoren (siehe: \(2a\) und \(a\), bzw.: \(2b\) und \(-3b\)), so kann man die Variablen weder durch Addieren, noch durch Subtrahieren rausschmeißen. |
Die Lösung ist, dass man seine Gleichungen eben vorher geeignet umformt - durch Multiplizieren! Bei uns können wir bspw. \(a\) gleichnamig machen, wenn wir die untere Gleichung mit \(2\) multiplizieren - wir erhalten in beiden Zeilen \(2a\), sie fallen beim Subtrahieren weg. (Man könnte auch \(b\) in beiden Zeilen auf \(6b\) bringen, dazu müsste man aber beide Zeilen multiplizieren: Oben mit \(3\), unten mit \(2\)).
\(\begin{vmatrix}2a+2b=\;\;6 \\\;\;a\;\;-3b=-1\end{vmatrix}\begin{matrix}\text{ }\\ \mid\cdot2\end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+2b=\;\;\;6 \\\;2a-6b=-2\end{vmatrix}\;\;\left.\right]-\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+2b=6 \\\qquad\quad8b=8\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+2b=6 \\\qquad\;\quad\;\;\;{b}=1\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a+2\cdot1=6 \\ \qquad\quad\qquad\;{b}=1\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a=2 \\ b=1\end{vmatrix}\) | Gut - nachdem wir die Vorfaktoren einer Variable gleichnamig gemacht haben, können wir sie rausschmeißen. Hier fällt \(a\) weg, wenn wir die Gleichungen subtrahieren, also tun wir das und erhalten \(2a-2a=0\) (fällt weg), \(2b-(-6b)=8b\) und rechts vom Gleich \(6-(-2)=8\). Klar, nun ist das LGS gelöst: Wir können \(b\) bestimmen, einsetzen und \(a\) ausrechnen. |
Bevor wir zur Zusammenfassung kommen, noch eine kleine Anmerkung:
Und zwar haben wir das \(a\) ja gleichnamig zu \(2a\) gemacht. Erst danach ist uns aufgefallen, dass \(a\) wegfällt, wenn wir die Gleichungen subtrahieren. Hätten wir stattdessen \(b\) in beiden Zeilen auf \(6b\) gebracht, erhielten wir oben \(6b\) und unten \(-6b\), damit das wegfällt müssten wir addieren!
Insgesamt muss man den Vorfaktor also unabhängig vom Vorzeichen gleichnamig machen! Das Vorzeichen selbst entscheidet dann lediglich, ob addiert oder subtrahiert werden muss (demnach multiplizieren wir stets mit einer positiven Zahl!).
1. Damit Variablen beim Addieren oder Subtrahieren wegfallen, müssen sie gleichnamig sein! Falls die rauszuschmeißende Variable also unterschiedliche Vorfaktoren hat, so bringen wir diese zuerst per Multiplikation auf ein gleiches Vielfaches.
2. Hat man gleichnamige Variablen, so kann man sie eliminieren, indem man die Gleichungen addiert (bei unterschiedlichen Vorzeichen) oder subtrahiert (bei gleichen Vorzeichen).
3. Sobald eine Zeile nurnoch eine Variable enthält, läßt sich diese bestimmen und durch Einsetzen lassen sich anschließend auch die übrigen Variablen ermitteln.
Hinweis: Dass man Variablen zum Rausschmeißen addieren muss, wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, bzw. subtrahieren muss, wenn sie gleich sind, ist jedem klar. Natürlich fallen \(5a\) und \(5a\) weg, wenn man sie subtrahiert, bzw. \(5a\) und \(-5a\), wenn man sie addiert \((5a+(-5a)=0)\). Ich würde mir das nicht auswendig lernen - bring' die Vorfaktoren auf ein gleiches Vielfaches und entscheide, welches Verfahren zum Rausschmeißen benötigt wird. Das wichtige ist das gleichnamig machen!
Weiter zu linearen Gleichungssystemen mit drei Variablen. Hier tritt ein Problem auf, dass bei LGS mit nur zwei Variablen nicht passieren kann. Dazu versuchen wir das folgende LGS genau wie oben zu lösen, beachte aber, dass der Lösungsweg falsch, bzw. mindestens ungeschickt ist. Ich möchte lediglich das Problem aufzeigen.
\(\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ a-b+\quad{c}=3 \\ 3a+3b+c=13\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \left.\right]- \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ a-b+\quad{c}=3 \\ -2a-4b\qquad\;\;=-10\end{vmatrix}\) | Hier nun ein Gleichungssystem mit drei Variablen. Das Lösungsprinzip ist eigentlich das gleiche: Wir schmeißen per Additions- und Subtraktionsverfahren die Variablen raus. Das Problem bei mehreren Variablen ist, dass wir nach dem Rausschmeißen einer Variablen ja immernoch zwei weitere Variablen haben und keine der beiden ausrechnen können! Um zwei Variablen berechnen zu können brauchen wir (wie oben gesehen) zwei Gleichungen. Die hier nach dem Rausschmeißen von \(c\) erhaltene Gleichung \(-2a-4b=-10\) bringt nichts, wenn wir nicht noch eine zweite Gleichung nur mit \(a\) und \(b\) haben! Falls jetzt jemand denkt, man könne nun bspw. \(a\) rausschmeißen, indem man es in zweiter und dritter Zeile gleichnamig macht und die Zeilen anschließend addiert, dann ist auch das ein Holzweg! Nach dem Subtrahieren wäre \(c\) ja wieder da (die zweite Zeile beinhaltet das \(c\) ja noch)! Auf diese Weise kann man sich also höchstens einen Wolf rechnen, nicht aber das LGS lösen! Nocheinmal deutlich: Der hier versuchte Lösungsweg, direkt \(c\) rauszuschmeißen ist nicht zu empfehlen! |
Wie gerade festgestellt, können wir bei drei (oder mehr) Variablen nicht einfach eine Variable rausschmeißen, denn wir erhielten eine Gleichung, die immer noch zwei Variablen enthält.
Um solch ein LGS lösen zu können, muss man eine Variable gleich doppelt rausschmeißen!
\(\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ a-b+\quad{c}=3 \\ 3a+3b+c=13\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \mid\cdot2 \\ \mid\cdot2 \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ 2a-2b+2c=6 \\ 6a+6b+2c=26\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \left.\right]- \\ \text{} \end{matrix} \;\begin{matrix} \text{} \\ \left.\right]- \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ 5a+3b\qquad=11 \\ -4a-8b\qquad=-20\end{vmatrix}\) | Um eine zweite Gleichung zu erhalten, die auch nur \(a\) und \(b\) enthält, müssen wir \(c\) direkt zweimal rausschmeißen! Das funktioniert hier allerdings nicht direkt, denn \(c\) ist nicht in allen Zeilen gleichnamig. Bevor wir also irgendwas rausschmeißen, müssen wir \(c\) (~eine Variable) in allen Zeilen auf den gleichen Vorfaktor bringen! Hier also die zweite und dritte Zeile mit \(2\) multiplizieren, um überall \(2c\) zu erhalten. Jetzt können wir \(c\) zweimal rausschmeißen: Wir erhalten zwei Zeilen, jeweils nur mit \(a\) und \(b\). Mit diesen können wir wie früher bei Gleichungssystemen mit zwei Variablen \(a\) und \(b\) bestimmen, alles oben einsetzen und auch \(c\) ermitteln. |
Im Prinzip bilden die beiden neuen Zeilen (ohne \(c\)) also ein eigenes LGS - eines mit zwei Variablen und zwei Zeilen. Die erste Gleichung wird nur noch benötigt, um \(c\) zu bestimmen (nachdem man das LGS eigentlich gelöst hat). Jedesmal, nachdem man aus allen Zeilen also eine Variable eliminiert hat, erhält man ein kleineres LGS, welches für sich gelöst wird. Die oberen Gleichungen werden nur mitgeschleppt, damit man (nach Bestimmen einer Variablen) die übrigen Unbekannten bestimmen kann!
\(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ 5a+3b\qquad=11 \\ -4a-8b\qquad=-20\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \mid\cdot4 \\ \mid\cdot5 \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ 20a+12b\qquad=44 \\ -20a-40b\qquad=-100\end{vmatrix}\;\;\begin{matrix} \text{} \\ \left.\right]+ \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}7a+b+2c=17 \\ 20a+12b\qquad=44 \\ \qquad\quad-28b\qquad=-56\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a=1 \\ b=2 \\ c=4\end{vmatrix}\) | In den beiden unteren Zeilen knöpfen wir uns die nächste Variable vor, etwa \(a\). \(4a\) und \(5a\) lassen sich gleichnamig auf \(20a\) bringen - wir multiplizieren die zweite Zeile also mit \(4\) und die dritte mit \(5\). Man sieht, dass \(a\) nun wegfällt, wenn wir die Gleichungen addieren, danach erhalten wir \(-28b=-56\) und weil wir auf der rechten Seite keinen Platz mehr haben, bestimmen wir die Lösungen im Kopf (das LGS ist ja bereits gelöst). \(b=2\) ist klar (letzte Zeile durch \(-28\)). Das setzen wir in die zweite Zeile ein und erhalten \(20a+2\cdot12=44\Leftrightarrow{a}=1\) (2 mal 12 sind 24, also minus 24, sind rechts noch 20, durch 20 ist 1). Beides in die erste Zeile liefert \(7+2+2c=17\Leftrightarrow{c}=4\) (7 und 2 sind 9, die rüber sind noch 8, durch 2 ist 4). |
Schritt 1: Gleichnamig machen Entscheide dich für eine Variable und bringe diese in allen Zeilen durch Multiplizieren auf den gleichen Vorfaktor.
Schritt 2: Variable eliminieren Eliminiere die in Schritt 1 gewählte Variable aus allen Zeilen, indem du sie per Additions- oder Subtraktionsverfahren rauswirfst.
Schritt 3: Wiederhole die ersten beiden Schritte bis du eine Gleichung erhälst, die nurnoch eine Variable enthält.
Hat man so eine Zeile mit nur einer Variablen ermittelt, lassen sich die Variablen der Reihe nach (~von unten nach oben) bestimmen. Setze dazu die jeweils bestimmte(n) Größe(n) in eine Zeile mit einer Variablen mehr ein.
Hinweis: In der Schule muss nach dem Addieren oder Subtrahieren meist die oberste Zeile stehen gelassen werden - mathematisch gesehen ist das egal. Erkundige dich am besten bei deinem Lehrer, oft ist es nämlich leichter eine andere Zeile zu wählen...
\(\begin{vmatrix}a+4b-c=-5 \\ 3a-b+2c=11 \\ -3a+-5b+8c=1\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \mid\cdot3 \\ \text{ } \\ \text{ } \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}3a+12b-3c=-15 \\ 3a-b+2c=11 \\ -3a-5b+8c=1\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \left.\right]- \\ \text{} \end{matrix} \;\begin{matrix} \text{} \\ \left.\right]+ \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}3a+12b-3c=-15 \\ \qquad13b-5c=-26 \\ \qquad-6b+10c=12\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \mid\cdot2 \\ \text{ } \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}3a+12b-3c=-15 \\ \qquad26b-10c=-52 \\ \qquad-6b+10c=12\end{vmatrix}\;\;\begin{matrix} \text{} \\ \left.\right]+ \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}3a+12b-3c=-15 \\ \qquad26b-10c=-52 \\ \qquad\quad20b\qquad=-40\end{vmatrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a=3 \\ b=-2 \\ c=0\end{vmatrix}\) | Wir gehen genau nach dem Rezept vor, also: Schritt 1: Gleichnamig machen |
Zum Abschluss noch ein LGS mit vier Variablen.
\(\begin{vmatrix}a+\quad{b}+c+d=5 \\ 3a+2b+c-d=2 \\ -2a-b+2c+d=-8 \\ -a-4b-3c+d=14\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \left.\right]+ \\ \text{ } \\ \text{} \\ \text{} \\ \text{} \end{matrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \left.\right]+ \\ \text{ } \end{matrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \left.\right]- \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}\quad{a}+\quad{b}+\quad{c}+d=5 \\ 4a+3b+2c\qquad\;\;=7 \\ \quad{a}+\quad{b}+3c\qquad\;\;=-6 \\ \quad-a+3b+5c\qquad\;\;=-22\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{} \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \text{} \\ \mid\cdot3 \\ \text{} \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}\quad{a}+\quad{b}+\quad{c}+d=5 \\ 4a+3b+2c\qquad\;\;=7 \\ \quad{3}a+3b+9c\qquad\;\;=-18 \\ \;-a\;+3b+5c\qquad\;\;=-22\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \left.\right]- \\ \text{ } \end{matrix} \begin{matrix} \text{ } \\ \text{ } \\ \text{} \\\left.\right]- \end{matrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}\quad{a}+\quad{b}+\quad{c}+d=5 \\ 4a+3b+2c\qquad\;\;=7 \\ \quad{a}\qquad\;\;-7c\qquad\;\;=25 \\ 4a\qquad\;+4c\qquad\;\;=4\end{vmatrix}\;\;\begin{matrix} \text{} \\ \text{ } \\ \text{} \\ \text{} \\ \mid\cdot4 \\ \text{ } \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a+b+c+d=5 \\ 4a+3b+2c=7 \\ 4a\qquad\;\;-28c=100 \\ 4a\qquad\qquad+4c=4\end{vmatrix}\;\; \begin{matrix} \text{ } \\ \text{ } \\ \text{} \\ \text{} \\ \left.\right]- \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a+b+c+d=5 \\ 4a+3b+2c=7 \\ 4a\qquad\;-28c=100 \\ \qquad\qquad-32c=96\end{vmatrix} \) \(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}a=4 \\ b=-1 \\ c=-3 \\ d=5\end{vmatrix} \) | Das Prinzip ist natürlich das gleiche (Gleichnamig machen und Eliminieren). Hier können wir \(d\) direkt rausschmeißen, denn es hat überall den gleichen Vorfaktor. Danach bringen wir am einfachsten \(b\) überall auf \(3b\) und eliminieren es anschließend. Schließlich noch \(a\) auf \(4a\) bringen (hier könnte man die letzte Zeile auch durch 4 dividieren) und eliminieren, so dass wir eine Zeile mit nurnoch einer Variable haben, hier \(-32c=96\). Das LGS ist gelöst, die Lösungen sind: \(c=-3\) (letzte Zeile durch minus 32), das ergibt \(4a-28\cdot(-3)=100\Leftrightarrow{a}=4\). Beides in die Zeile dadrüber liefert \(4\cdot4+3b+2\cdot(-3)=7\Leftrightarrow{b}=-1\) und schließlich gibt's \(d\), wenn wir alles oben einsetzen: \(4+(-1)+(-3)+d=5\Leftrightarrow{d}=5\). |
© Christian Wenning
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